Numerical Investigation on Layered Flame Brush Structure and Conditional Transport Equations in Turbulent Premixed Combustion

Abstract

난류연소는 인류의 생활뿐만 아니라 산업에 이용되는 많은 에너지 설비에서 널리 사용되고 있다. 대표적으로 제철 공정에 다양한 연소 설비들이 사용되고 전력을 생산하기 위한 화력발전소에도 미분탄 보일러, 중유 보일러, 가스터빈 등 다양한 형태의 연소 설비들이 활용되고 있다. 그뿐만 아니라 다양한 차량용 내연기관과 항공우주 산업의 추친체 등 많은 산업 분야에서 난류연소가 활용되고 있으며 그 중요성은 매우 높다. 난류연소는 화학 반응과 난류유동의 상호작용을 포함한 매우 복합적인 물리 현상이다. 연소는 크게 예혼합연소와 확산연소로 나뉠 수 있고, 그 중 난류 예혼합연소의 다양한 현상에 대한 이해도는 난류 확산연소의 높은 이해도와 비교하여 아직 부족한 것이 사실이다. 난류 예혼합연소는 몇 가지 근본적 어려움을 가지고 있다. 가장 먼저, 확산연소의 혼합분율과 같은 보존 스칼라가 없는 것을 꼽을 수 있고, 화염이 전파되는 예혼합화염의 특성 때문에 실험을 통한 난류 예혼합화염의 반복적인 측정에도 어려움이 따른다. 직접수치모사(DNS)를 이용하여 난류 예혼합화염의 통계적 정상상태를 만드는 것에도 어려움이 있다. 이렇게 충분한 통계적 데이터를 얻기 힘든 예혼합화염의 특성 뿐만 아니라, 난류 예혼합연소를 연구해온 과거 전통적인 접근법들의 부족한 점은 적절한 평균 수식체계와 layered structure에 대한 고려가 없었던 것에 있다. 일관된 평균 수식체계 없이는 넓은 범위의 화염에 대한 평균 반응진행변수나 화염면적밀도 등 난류 예혼합연소의 주요 파라미터들에 대한 전달의 서술과 엄밀한 분석적 절차를 밟기 힘들었다. 포스텍 연소공학연구실에서는 오랜 기간 조건평균 수식체계(conditional averaging formalism)를 통해 난류 예혼합연소를 통계적으로 연구해왔고, 이는 평균 반응진행변수, 화염면적밀도, 평균 곡률 등 난류 예혼합화염의 구조적인 통계에 대한 관계식들을 유도하는 데 매우 유용했다. 본 연구에서는 조건평균을 활용하여 크게 두 가지 기초연구를 진행하였다. 첫 번째로, 조건평균 통계를 활용하여 화염의 layerd brush structure를 규명하였다.난류 예혼합화염을 leading edge, internal region, trailing edge 세 겹의 레이어로 나누어 각 레이어의 특성을 살펴보았다. Leading edge와 trailing edge는 평균 반응진행변수가 0 혹은 1에 접근하는 화염의 양 끝단에서 기하급수적으로 감소하는 characteristic length scale의 역수(1/L_LE, 1/L_TE)가 (1/Σ_f )

dΣ_f /dx

와 같아지는 것을 통해 internal region과 구분될 수 있다. 조건평균 수식체계을 통해 leading edge와 trailing edge의 characteristic length scale(L_LE, L_TE)에 대한 해석적인 식을 유도하였고 이것들이 직접수치모사 결과에 잘 부합하는 것을 확인하였다. 또한, leading edge에서는 난류 예혼합화염의 가장 중요한 변수인 난류 화염전파속도 S_T가 결정된다. ST 식을 통해 예측되는 leading edge에서의 ST는 직접수치모사 결과에 잘 부합하였다. Internal region에서는 조건평균을 통해 면적밀도함수의 변동을 고려하여 새롭게 정의된 난류 확산계수, D_ts,를 이용하여 조건평균 속도 <u>_f를 정의하였다. 또한 이렇게 정의된 D_ts와 <u>_f를 이용하여 새로운 평균 반응진행변수 수송방정식을 유도하였고, 이 방정식은 새롭게 정의된 D_ts를 통해 counter-gradient diffusion으로부터 자유로울 수 있게 되었다. D_ts는 연소에 의한 부피팽창의 유무와 관계없이 양의 값을 유지한다. 새로운 평균 반응진행변수 수송방정식을 구성하는 조건평균 연소속도와 화염면적밀도에 대한 서브모델링 연구가 추후 진행된다면 새로운 난류 예혼합 연소모델의 개발도 가능하다. 두 번째로, 조건평균 수식체계를 활용하여 난류 예혼합연소의 중요 파라미터에 대한 새로운 수송방정식을 유도 및 검증하였다. 이를 바탕으로 국소적 공간의존이 없는 글로벌 파라미터를 통한 평균 방향벡터와 평균 절대곡률에 대한 관계식을 유도 및 검증하였다. 반응진행변수 수송방정식으로부터 새로운 평균 방향벡터와 평균 절대곡률 수송방정식을 화염의 순수 수직 방향 움직임으로 나타내어 유도하였다. 유도된 방정식들은 직접수치모사 결과를 통해 검증되었다. 방정식들에서 공간에 대한 수송항은 무시할만 하였고 생성항들이 국소 균형을 유지하며 화염 브러쉬 전반에 걸쳐 대략적으로 일정한 값을 유지하는 평균 방향벡터와 평균 절대곡률 분포를 만들어 낸다. 이 결과는 곧 평균 방향벡터와 평균 절대곡률을 국소 공간의존이 없는 글로벌 파라미터들로 나타낼 수 있다는 것을 의미한다. 이에 따라 평균 방향벡터는 조건평균 연소속도와 조건평균 유속의 비로 나타낼 수 있고, 최대 화염면적밀도 위치에서 1/

<n>_f

=l_f*Σ_max = S_T/S^0_Lu로 나타낼 수 있다. 평균 절대곡률은 화염브러쉬 전반에 걸쳐 일정한 값을 유지하는 characteristic wrinkling scale 이라고 볼 수 있고, 평균 절대곡률 또한 유도된 관계식을 통해 평균 방향벡터와 최대 화염면적밀도를 활용하여 예측할 수 있다. 다시말해, 평균 반응진행변수에 대해 포물선 모양의 프로파일을 갖는 화염면적밀도는 대략적으로 일정한 값을 유지하는 평균 방향벡터, 평균 절대곡률과 밀접한 관련이 있다. 이와 같이 본 연구는 조건평균 수식체계를 통해 난류 예혼합연소에 대한 이해도를 한층 끌어올렸을 뿐만 아니라 새로운 난류 예혼합연소 모델의 개발 가능성을 열었다는 점에서 학문적, 실용적으로 매우 의미있는 결과를 남겼다.

Conditional averaging concept has been applied to turbulent premixed combustion to derive the trasnport equations and mathematical relationships of crucial parameters of turbulent premixed flame. The statistical data from the direct numerical simulation (DNS) of turbulent premixed flame in statistical steadiness was used to investigate the flame brush structure and verify the derived equations and mathematical relationships. A turbulent premixed flame is decomposed into the three layers of internal region of fluctuating flamelets and leading and trailing edges with negligible density variation in the nonflamelet regime. Conditional averaging is performed in terms of the successively higher order differentials of c, (1−c), Σ'_f,(= ∂c/∂n) and ∂^2c/∂n^2 to derive conditional relationships through the layered brush structure. The leading edge is defined as the region of negligible mean reaction rate to avoid the cold boundary difficulty for existence of a steadily propagating flame. The leading and trailing edges are identified in terms of the length scales of exponential decay, L_LE and L_TE, for <c> and (1−<c>) becoming equal to that for Σ_f , as <c> approaches zero and unity respectively. Analytical expressions are derived for LLE and LT E which are in good agreement with DNS results except for L_TE interacting with the wall boundary layer in the stagnating flame. The turbulent burning velocity, S_T, is given by the total diffusivity, (D_m + D_t), divided by L_LE with its two limiting forms at strong and weak turbulence. The new mean progress variable transport equation is given in terms of the turbulent diffusivity, D_ts, which is defined for the flux, <v'(Σ'_f)'>, free from countergradient diffusion due to volume expansion. A rigorous expression is derived for the derivative, dΣ_f /d<c>, in terms of the mean orientation vectors and curvature,<n>_f, <n>_K and <∇ · n>_f. It is consistent with a familiar parabolic profile of Σ_f for approximately uniform <n>_f and <

∇ · n

>_f in the <c> space. The conditional velocities show the asymptotic behavior of <v>_u approaching hvi and <v>_b approaching <v>_f at the leading edge and <v>_b approaching <v> and <v>_u approaching <v>_f at the trailing edge. Good agreement is shown for the analytical expressions of S_T and the integrated profiles of Σ_f with DNS results of the two test flames in statistical steadiness. The geometrical flamelet statistics in a turbulent premixed flame may be represented by <c>, Σ_f, <n>_f, <∇ · n>_f and <

>_f which which are respectively mean reaction progress variable, flame surface density, mean orientation vector, mean curvature and mean absolute curvature. In this work new conditional transport equations are derived for the listed geometrical statistics in terms of the net normal flame motion from the equation of the reaction progress variable. They allow simpler physical interpretation than the unconditionally averaged forms including the tangential velocity component on a flame surface. Balance is checked for all component terms of those transport equations in two freely propagating, constant density flames in statistical steadiness. Results show that <n>_f and <

>_f remain approximately uniform in local equilibrium with negligible spatial transport except at the edges. It represents possibility of functional relationships for <n>_f and <

>_f in terms of the global parameters with no local dependence. It is consistent with the magnitude of <n>_f given as the ratio of laminar and turbulent flame speeds and <

>_f given as proportional to the maximum flame surface density in the previous work [Huh et al., Phys. Fluids 25(7) (2013), Article ID 075108]. Although further investigation may be required, we expect that the same argument applies to variable density turbulent premixed flames according to the observations which support uniform <n>_f and <

>_f in simulation and some laboratory flames [Chew et al., Combust. Flame 80(1) (1990), pp. 65-82,Ashurst and Shepherd, Combust. Sci. Technol. 124(1) (1997), pp. 115-144].