모양 MacWilliams 항등식을 만족하는 순서관계의 분류

Abstract

In this dissertation, we investigate the MacWilliams identity on poset codes. A result of Kim and Oh states that a poset P admits the MacWilliams identity if and only if P is a hierarchical poset. This result leads us the following question: Is there a way to study poset codes using a MacWilliams type identity when the poset is not a hierarchical poset? We introduce the concept of shape weight enumerator of a poset, which is a generalization of poset weight enumerator. The main result of this dissertation is to classify all poset structures that admit the shape MacWilliams identity. We also derive the shape MacWilliams identity for such poset codes. We first derive a sufficient and necessary condition for a poset P such that all the P-codes satisfy the shape MacWilliams identities. In the next, we give anothersufficient condition for a poset to admit the shape MacWilliams identity. Using this condition, we construct some poset structures admitting the shape MacWilliamsidentity and compute the shape MacWilliams identity. We also find some properties of Krawtchouk polynomials for such poset structures. We finally derive the properties of posets admitting the shape MacWilliams identity.

본 논문에서는 반순서 부호에서의 MacWilliams 항등식에 관해 연구하였다. 참고문헌 [16]의 "A classification of posets admitting MacWilliams identity"에서 저자들은 MacWilliams 항등식을 만족하는 반순서 부호가 계층 구조를 가지는 반순서 부호임을 보였다. 이 결과는 다음의 질문을 이끈다: 계층 구조를 가지지 못하는 반순서 부호에서도 MacWilliams 항등식을 공부할 수 있을까? 우리는 반순서 부호의 무게 분포를 일반화한 반순서 부호의 모양 분포를 소개하였다. 모양 MacWilliams 항등식을 만족하는 반순서 집합을 분류하였다. 또한 그런 반순서 집합의 모양 무게 분포에 대하여 모양 MacWilliams 항등식을 구하였다. 첫번째로 모양 MacWilliams 항등식을 만족하는 반순서 집합의 필요충분조건이 여집합이 동형사상인 반순서 부호임을 증명하였다. 다음으로 모양 MacWilliams 항등식을 만족하는 반순서 집합의 다른 충분조건을 주었다. 이 조건을 사용하여, 모양 MacWilliams 항등식을 만족하는 반순서 집합들을 구성하였고, 모양 MacWilliams 항등식을 구하였다. 또한 그런 반순서 부호에 대하여 Krawtchouk 다항식의 성질들도 발견하였다. 마지막으로 그런 반순서 집합의 성질들을 유도하였다.