Supersymmetric Index and Its Applications to 3d/5d Superconformal Field Theories

Abstract

In this thesis, I examine various supersymmetric indices and their applications to studies of strongly interacting superconformal field theories in 3d/5d. I first work out the superconformal index for 3d N = 2 supersymmetric Chern-Simons matter theories with gauge groups U(N),USp(2N),O(N). Those theories exhibit the nontrivial IR duality called the Giveon-Kutasov dualty. The indices I computed show the perfect agreements for proposed dual pairs. Next I discuss the Aharony duality, which is an IR duality for 3d N = 2 supersymmetric Yang-Mills theories. In particular, I propose the Aharony duality for orthogonal gauge groups and also provide evidence of the duality by working out the S3 partition function and the superconformal index. Another main topic of the thesis is factorization of the 3d superconformal index. I show that the index for 3d N = 2 U(N) gauge theories with fundamental, anti-fundmental matters (and with/without an adjoint matter) is factorized into the vortex and anti-vortex partition functions. Those vortex partition functions coincide with suitable topological open string partition functions. This shows connections between 3d and 5d theories. In addition, the factorized index provides a much more elegant way of the index comparison. We explore various 3d Seiberg-like dualities using the factorized index. Lastly I examine the instanton partition functions of 5d N = 1 gauge theories. I first derive the index for general gauged quantum mechanics with (0,2) supersymmetry. Then the instanton partitions can be obtained as the indices of the ADHM gauged quantum mechanics with (0,4) supersymmetry with suitable manipulations. Using those instanton partition functions I study strongly interacting 5d/6d superconformal field theories.

본 논문에서는 다양한 초대칭 인덱스와 이를 이용한 3, 5차원 초등각 양자장 이론에 대한 연구를 다룬다. 이들 초등각 양자장 이론들은 강하게 상요작용하는 이론들로서 이들의 역학을 이해하기 위해서는 섭동적 계산을 넘어선 비섭동적 계산이 필요하다. 일반적으로 정확한 비섭동적 계산을 수행하는 것은 매우 어려운 문제이나, 최근 활발히 연구되고 있는 로컬라이제이션 방법은 초대칭을 가지는 이론들에 대해 정확한 비섭동적 계산을 수행할 수 있게 해준다. 본 논문 역시 로컬라이제이션 방법을 이용하여 정확하게 구해진 초대칭 인덱스를 이용한다. 본 논문의 첫 번째 주제는 3차원 초대칭 이론들의 유사 Seiberg 대칭성에 대한 연구이다. 첫 번째 유사 Seiberg 대칭성 예로는 3d N = 2 Chern-Simons 물질 이론들 사이의 이중성인 Giveon-Kutasov 이중성을 들 수 있다. 본 논문에서는 초대칭 인덱스의 하나인 초등각 인덱스를 구하여 비교함으로써 이 Chern-Simons 물질 이론들에 대한 Giveon-Kutasov 이중성의 자명하지 않은 증거를 제시한다. 또 다른 3차원 유사 Seiberg 대칭성으로는 Aharony 대칭성이 있다. Aharony 대칭성은 3차원 N = 2 초대칭 Yang-Mills 이론들 사이의 낮은 에너지 대칭성으로, 이 대칭성이 최초로 제안된 Aharony의 논문에서는 유니터리 게이지 군과 심플렉틱 게이지 군이 고려되었다. 본 논문에서는 이를 확장하여 직교 게이지 군에 대한 Aharony 이중성을 제안하고 이에 대한 다양한 증거들을 제시한다. 본 논문의 두 번째 주제는 3차원 초등각 인덱스의 인수분해 성질에 대한 연구이다. 유니터리 게이지 군을 갖는 3차원 N =2 초대칭 게이지 이론에 대하여 초등각 인덱스가 소용돌이 분배 함수와 반소용돌이 분배 함수로 인수분해 됨을 보인다. 또한 3차원 소용돌이 분배 함수와 열린 위상끈 분배 함수가 같아짐을 보임으로써 3차원 이론과 5차원 이론의 관계를 고찰한다. 인수분해된 3차원 초등각 인덱스는 3차원 이론들의 이중성 연구에도 강력한 도구가 된다. 본 논문에서는 인수분해된 인덱스를 이용함으로써 Aharony 이중성, Kim-Park 이중성, N = 4 유사 Seiberg 이중성 등에 대한 새로운 이해를 도모한다. 본 논문의 마지막 주제는 5차원 게이지 이론의 순간자에 대한 연구이다. 5차원 게이지 이론의 순간자 분배 함수는 ADHM 작도에 의해 1차원 게이지 양자역학의 Witten 인덱스로 주어진다. 따라서 본 논문에서는 먼저 일반적인 1차원 게이지 양자역학의 인덱스를 구하는 공식을 유도하고, 이를 이용해 다양한 5차원 게이지 이론의 순간자 분배 함수를 구한다. 또한 이 과정에서 발생하는 여러 문제점들에 대하여, 이를 해결하는 방법과 그 안에 담겨 있는 물리적 의미를 고찰한다. 특히 재규격화가 불가능한 5차원 게이지 이론의 물리량 계산이 갖는 의미를 이해한다. 마지막으로, 구해진 순간자 분배 함수를 이용하여 강하게 상호작용하는 5차원 초등각 양자장 이론들의 성질을 분석한다. 본 논문에서 다뤄진 3차원 초등각 인덱스의 인수분해 성질은 이외에도 다양한 기하 공간 위에서의 분배 함수에 적용될 수 있다. 이런 다양한 분배 함수들의 인수분해는 초대칭 게이지 이론들을 분석하는데 새로운 도구를 제공할 것으로 기대된다. 또한 본 논문에서 유도한 1차원 Witten 인덱스는 다양한 1차원 양자역학의 이중성, 벽 지나침 현상 등을 연구하는데 유용하게 사용될 수 있다. 5, 6차원 초등각 양자장 이론에 대한 연구는 본 논문에서 다룬 5차원 게이지 이론과 1차원 ADHM 양자역학을 이용한 방법 뿐만 아니라 위상끈, 2차원 ADHM 양자장 이론 등을 이용한 다양한 방법을 통해 연구되고 있다. 본 논문에서 다루어진 연구들과 앞으로 이어질 후속 연구들이, 여러 차원에서의 초등각 양자장 이론에 대한 보다 깊은 이해를 도모하는데 도움이 될 것으로 기대한다.