Three Topics in Mathematical Physics: (1) Further Reduction of Irreducible Eigenproblem, (2) Eigengraph Method Resolving, and (3) Primes and Zeros in Riemann Hypothesis

Abstract

In this thesis, we discuss the following three topics: (1) "Further Reduction" of Irreducible Matrix by Using Graph Automorphism Group, and Exact Eigensolver: Theory, Algorithm, and Application to Spin-1/2 Heisenberg Lattice, (2) Eigengraph Method for Nearly Degenerate Eigenstate Computation, and (3) Relation Between Primes and Nontrivial Zeros in the Riemann Hypothesis; Legendre Polynomials, Modified Zeta Function and Schroedinger Equation. In Chapter 1, we introduce a compressed representation of an irreducible matrix based on nontrivial graph automorphism group. Using this representation, we are able to deal with matrix eigenproblems more efficiently. As a practical application, we utilize the compressed representations of irreducible Hamiltonians of the Heisenberg spin-1/2 square lattice to calculate energies. The computational time and resources are saved in proportion to the order of the group representing the lattice. Not merely is the computation of a new basis and new matrix elements not required, data sparsity is well retained since nonzero matrix elements are not additionally generated in the process of obtaining the low-dimensional representation. In Chapter 2, eigengraph method is introduced in order to compute nearly degenerate eigenstates where their eigenvalue differences are extremely small. By consecutively taking a square of a real matrix with a proper normalization, one or more eigenstates including the most dominant one can be calculated within a handful of iterations. Similarly, a different set of eigenpairs can also be calculated using previously obtained eigenvalues. In Chapter 3, we show that there exists a relation between prime numbers through reduction to the absurd. In relation to the Riemann zeta function and its nontrivial zeros, we deal with the Legendre Polynomials, Green's function, and Schroedinger equation. The Riemann zeta function (in the p-series form) is slightly modified to resolve the divergence problem in the critical strip (having the real part between zero and one).

본 박사 학위 논문에서는 다음 세 주제들을 논한다: (1) 그래프 자기동형군을 이용한 행렬의 "추가 줄임"과 정확한 고유치 풀이 연구: 이론, 알고리즘, 그리고 스핀-1/2 하이젠베르그 격자 문제 응용, (2) 거의 겹친 상태 에너지 계산을 위한 고유그래프 방법, 그리고 (3) 리만 가설 안에서의 소수와 비자명근 사이의 관계; 르장드르 다항식, 수정된 제타 함수 그리고 슈뢰딩거 방정식. Chapter 1 에서 줄일 수 없는 행렬은 대수적 그래프 이론에서의 비자명한 그래프 자기동형군의 활용으로 압축 표현이 가능함을 보인다. 이는 행렬 고유치 문제를 보다 효율적으로 풀 수 있도록 한다. 하이젠베르그 스핀 1/2 정사각 격자 문제에서도 줄일 수 없는 헤밀토니안의 압축 표현을 얻어내는 것이 가능하고, 압축 표현을 활용하면 격자를 표현하는 대칭군의 위수에 비례하여 에너지를 얻기 위한 계산 시간과 자원이 절약 됨을 보인다. 새로운 기저 및 행렬 원소들의 재계산이 요구되지 않을 뿐만 아니라, 저차원 표현을 얻는 과정에서 0이 아닌 행렬 원소들을 추가적으로 만들지 않아 데이터 희소성이 잘 보존된다. Chapter 2 에서는 연속된 고유치들의 차가 아주 작은 거의 겹친 상태 계산을 위한 고유 그래프 계산법을 소개한다. 정사각 실행렬을 제곱한 후 적절한 정규화를 하는 과정을 단 몇 차례 반복하여, 가장 지배적인 고유 상태를 포함하는 하나 이상의 고유 상태들을 계산할 수 있다. 이전에 얻은 고유치들을 이용하여 유사한 과정을 거쳐, 다른 고유쌍 집합 또한 얻을 수 있다. Chapter 3 에서는 귀류법적 논증으로 두 소수 사이의 관계가 존재할 수 있음을 보인다. 제타 함수와 그것의 비자명근들과 관련하여, 르장드르 다항식, 그린 함수 및 슈뢰딩거 방정식을 다룬다. 특이대 안(실수부가 0과 1사이인 영역)에서의 발산 문제를 해결하기 위해, p-급수 형태의 리만 제타 함수가 약간 수정된다.